Numerical Analysis
نویسنده:مهندس احمد غفوری
سرفصل درس
1- مبانی محاسبات عددی ونحوه ذخیره سازی اطلاعات دركامپیوترهای عددی - خطا ودقت تقریب زدن (2 جلسه )
2- محاسبه تقریبی ریشه های معادله جبری (3جلسه )
3- حل دستگاه معادلات خطی (2 جلسه )
(روش گاوس - گاوس جوردن - روشهای تكراری( ژاکوبی وگاوس سایدل )
4- حل دستگاه معادلات غیرخطی (1 جلسه) -( روش تیلور)
5- درونیابی وبرونیابی (2 جلسه)
(نقاط درونیاب متساوی الفاصله نباشند : چند جمله ای درونیاب به روش لاگرانژ - نقاط درونیاب هم فاصله باشند : چند جمله ای درونیاب به كمك روش تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن )
6- تقریب كوچكترین مجموع مربعات (1 جلسه)
7- مشتق وانتگرالگیری عددی (2 جلسه )
)محاسبه مشتق مرتبه اول ودوم - انتگرالگیری قاعده ذوزنقه - قاعده سیمسون (
8- معادلات دیفرانسیل (2جلسه )
فصل اول
- مبانی محاسبات عددی
- خطا و دقت اندازه گیری
مبانی محاسبات عددی:
جهشی که پیدایش کامپیوتر در دانشهای کاربردی پدید آورد به یاری محاسبات عددی بود. از این رو اهمیت دانش محاسبات عددی کمتر از دانش کامپیوتر نیست. همانگونه که می دانید، بسیاری از مسائل ریاضی را نمی توان به طور تحلیلی حل نمود و جواب دقیق آنها را به دست آورد. در بیشتر موارد تنها راه توصیف رفتار جواب یک مسئله آن است که مسئله را با یک روش عددی تقریب بزنیم. به طوری که بتوانیم اعدادی تولید کنیم که نمایانگر جواب مسئله باشند.
خطا و دقت تقریب زدن، آشکارترین تفاوت روشهای عددی و روشهای تحلیلی است از اینرو در استفاده از روشهای عددی همواره باید به پیدایش و گسترش خطاهای عددی آگاه بود و راههای جلوگیری از آنرا فرا گرفت.
منابع خطا:
در حل مسائل عددی، منابعی که تولید خطا می کنند، عبارتند از:
1- خطای نمایش اعداد
- خطای برشی
- خطای گرد شده
2- خطای محاسباتی
خطاهای برشی :
خطاهایی هستند که از برش یا کنار گذاشتن جملات بینهایت بوجود می آیند و هنگامی پدید می آیند که دستور ریاضی پیچیده ای را با دستور ساده تری جایگزین کنیم. به عنوان مثال اگر تابع را با استفاده از بسط تیلور در سه جمله بنویسیم، داریم :
بسط تیلور:
می دانیم که بسط تیلور برای چنین است:
بنابراین بسط تیلور تابع مذکور تا سه جمله عبارتست از:
خطای برشی به هنگام جانشینی با دستور سه جمله بالا چنین است:
مقدار خطای برشی
مثال: با توجه به بسط تیلور تا سه جمله خطای محاسبۀ را به دست آورید.
نتایج محاسبه با ماشین حساب :
مقدار خطای برشی در این تقریب:
خطای برشی هنگام کار با اعداد و محاسبات عددی از بریدن و کنار گذاشتن یک یا چند رقم پدید می آید. به عنوان مثال اگر عدد را از 6 رقم اعشار ببریم، و آنرا بگیریم، خطای برشی آن از کمتر خواهد بود.
خطای گرد شده :
خطاهایی هستند که در نتیجه گرد کردن اعداد با دقت دلخواه حاصل می شود.
روش گرد کردن یک عدد اعشاری تا k رقم اعشار به صورت زیر می باشد:
ابتدا رقم k+1 اُم اعشار و تمام ارقام بعد از آن را حذف می کنیم. عدد حذف شده دارای سه حالت زیر می باشد:
1- اگر عدد حذف شده بزرگتر از باشد، به رقم k اُم یک واحد اضافه می کنیم.
2- اگر عدد حذف شده کوچکتر از باشد، رقم k اُم تغییری نمی کند.
3- اگر عدد حذف شده درست برابر با باشد، چنانچه رقم k اُم فرد باشد، یک واحد به آن اضافه می کنیم و چنانچه زوج باشد، تغییری نمی کند.
مثال: عدد مقابل را به ازای k گرد کنید.
دو رقم اعشار: k=2
برای این منظور از رقم سوم به بعد را حذف می کنیم. عدد حذف شده عبارتست از
و چون
بنابراین به رقم دوم یک واحد اضافه می نمائیم. و رقم گرد شده عبارتست از
سه رقم اعشار : k=3
برای این منظور رقم چهارم به بعد را حذف می کنیم. عدد حذف شده عبارتست از:
پنج رقم اعشار: k=5
برای این منظور رقم ششم به بعد را حذف می کنیم. عدد حذف شده عبارتست از:
با توجه به اینکه رقم پنجم (یعنی عدد 3) فرد می باشد، به آن یک واحد اضافه می نمائیم.
بنابراین عدد گرد شده برابر است با:
نکته: با توجه به قاعدۀ گرد کردن اعداد تا k رقم اعشار، خطای گرد کردن اعداد همواره کوچکتر یا مساوی می باشد. یعنی خطا کنترل شده می باشد.
انواع خطا:
خطای مطلق، خطای نسبی، خطای درصد
خطای مطلق:
اگر تقریب عدد باشد، خطای مطلق عدد به صورت زیر تعریف می شود:
اگر تقریب عدد باشد که از گرد کردن تا k رقم اعشار حاصل شود، آنگاه:
خطای نسبی:
هرگاه تقریب عدد و خطای مطلق عدد باشد، خطای نسبی عدد به صورت زیر تعریف می شود:
هرچه خطای نسبی کوچکتر باشد، مبین آن است که اندازه گیری ها و محاسبات دقیق تر است. و هرگاه خطای مطلق نداشته باشیم خطای نسبی صفر می شود.
خطای در صد: به صورت مقابل تعریف می شود:
ارقام اعشار درست:
فرض کنید تقریبی برای باشد، اگر k بزرگترین عدد صحیح نامنفی باشد به طوری که :
آنگاه گفته می شود که دارای k رقم اعشار درست است. همچنین گفته می شود که و تا k رقم اعشار با هم مطابقت دارند.
مثال: هر یک از اعداد و ، تقریبی برای عدد هستند. این تقریب ها چند رقم اعشار درست دارند ؟
با استفاده از ماشین حساب:
بنابراین دارای 2 رقم اعشار درست است.
6 رقم اعشار درست دارد.
خطای محاسباتی:
مقدار عبارت برابر است با در نقطه
که در آن تقریب و خطای تقریب می باشد، به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن (خطای محاسباتی) به صورت زیر محاسبه می شود:
که در آن :
خطای حاصل جمع:
چنانچه و به ترتیب تقریب اعداد و باشند یعنی و ، آنگاه :
خطای محاسباتی در تابعی که دو متغییر را جمع می کند (تابع جمع)، حداکثر برابر است با مجموع دو خطا.
مثال: اگر اعداد و تا ارقام داده شده، درست باشند، مقدار عبارت را تا ارقام درست محاسبه کنید.
تا دو رقم اعشار تقریب درست می باشد.
خطای حاصل ضرب :
چنانچه و به ترتیب تقریب اعداد و باشند و داشته باشیم :
مثال: هرگاه اعداد تا ارقام داده شده، درست باشند، مقدار عبارت را تا ارقام درست محاسبه کنید.
بنابراین تا دو رقم اعشار تقریب می باشد.
خطای عمل تقسیم:
چنانچه و به ترتیب تقریب اعداد و باشند و داشته باشیم :
مثال: هرگاه اعداد تا ارقام داده شده درست باشند، مقدار عبارت زیر را تا ارقام درست محاسبه کنید.
فرض کنید و و تقریب اعداد x و y و z باشند. (اعداد تا سه رقم اعشار درست هستند.)
بنابراین تا دو رقم اعشار تقریب درست می باشد.
تمرین های فصل اول
1- هرگاه اعداد تا ارقام داده شده درست باشند، مقدار عبارت زیر را تا ارقام درست محاسبه کنید.
2- را با استفاده از فرمول تیلور تقریب بزنید.
3- با دو روش برش بعد از سه رقم و با روش گرد نمودن تا سه رقم چند جمله ای را برای از چپ به راست و جمله به جمله حساب کنید. خطای نسبی را پیدا کنید.
4- چنانچه مقدار تا ارقام داده شده درست باشد، مقدار عبارت زیر را تا ارقام درست محاسبه کنید.
فصل دوم
محاسبه تقریبی ریشه های معادلات
جبری
• محاسبه ي تقريبي ريشه ي معادله :
پيدا كردن ريشه هاي يكي از مهم ترين مسائل در رياضيات كاربردي و علوم مهندسي مي باشد در اغلب موارد پيدا نمودن جواب واقعي امكان پذير نيست و از اين رو بايد جواب معادله را با يك تقريب مشخص بدست آوريد براي اين منظور بايد ريشه هاي معادله رادر بازه اي چون جست وجو نماييد بطوري كه معادله در آن بازه پيوسته باشد و تنها يك ريشه داشته باشد به عبارت ديگر بايد شرايط زير موجود باشد:
الف) تابع در فاصله ي كه مي باشد پيوسته باشد .
ب)
ج)
اگر شرايط فوق برقرار باشد آنگاه به يكي از روش هاي زير مي توان ريشه هاي معادله را به طور تقريبي بدست آوريد :
1- روش نصف نمودن فاصله
2- روش وتر
3- روش نيوتن رافسون (مماس)
4- روش نقطه ي ثابت
• روش نصف نمودن فاصله
فرض كنيد در بازه ي پيوسته و و همچنين در بازۀ مي باشد در اينصورت اي در بازه ي وجود دارد كه مي باشد .
براي بدست آوردن تقريبي براي بازه را به قسمي انتخاب مي كنيم كه معادلۀ در اين بازه فقط يك ريشه داشته باشد (يعني احراز شرايط الف ،ب،ج )آنگاه از فلوچارت زير استفاده مي كنيم :
با حل فلوچارت فوق c را بدست آورده و سپس را با مقايسه مي كنيم اگر هم علامت بودa رابا c عوض مي كنيم اگر چنانچه هم علامت نبودb را با c عوض مي نماييم و عمل را تكرار مي كنيم .
• الگوريتم روش نصف كردن:
مثال) ريشه ي معادله ي را با روش نصف نمودن فاصله وبا دقت محاسبه نماييد؟
1)
2) پيوسته است. تابع در بازه ي
3) اكيدا صعودي است. تابع در بازه ي
با توجه به اين كه شرايط الف،ب،ج را دارا ميباشد cرا محاسبه مي كنيم :
f(c) ّّّf(b) f(a) c b a k
468/0- 1 1- 5/0 1 0 1
01269/0- 1 468/0- 75/0 1 5/0 2
38790/0 1 1269/0- 875/0 1 75/0 3
16659/0 38790/0 1269/0- 8125/0 875/0 75/0 4
07228/0 16659/0 1269/0- 78125/0 8125/0 75/0 5
02870/0 07228/0 1269/0- 765625/0 78125/0 75/0 6
00773/0 02870/0 1269/0- 75781/0 76562/0 75/0 7
00254/0- 00773/0 1269/0- 75390/0- 75785/0 75/0 8
00254/0 00773/0 00254/0- 755857/0 75781/0 75390625/0 9
000013501/0 7548281/0 7558593/0 75390625/0 10
در تكرار 10c برابر است با 754882812/0 تقريب مطلوب براي ريشه است زيرا در اين تکرار اندازه برقرار مي باشد .
تمرين:
برنامه اي بنويسيد كه ريشه ي معادله ي رابا دقت دلخواه و روش نصف كردن حل نماييد؟
#include
#include
void main ()
{
double a=0 , b=1 , ya =0 , yb =0 ,yc= 0 , c =0 , eph ;
cout<<" please enter eph :";
cin>>eph;
do{
c =(a+b)/2;
yc =pow(c,5)+c-1
yb =pow(b,5)+b-1
ya =pow (a,5)+a-1
if (yc *yb <0 )
a =c;
else
b =c;
}while ( fabs(b-a ) > eph ) ;
cout<<" c=" << c;
}//end of main
روش وتر :
در اين روش پس از برقراري شروط الف ، ب، ج وتري از نقطه ي به مشخصات و نقطۀ به مشخصات مي نماييم اين وتر محور ها را در نقطه اي مانند قطع مي كند اكنون مانند روش نصف كردن را بدست مي آوريم . اگر با هم علامت باشد را با در غير اين صورت را با تعويض مي نماييم ومجدداً كار را از آغاز تكرار مي كنيم :
اكنون را بدست آورده اگر باشد را با و در غير اين صورت را با عوض مي نماييم واين روش را تا مرحله اي كه يا ادامه مي دهيم .
• فلوچارت روش الگوريتم وتر :
مثال) با استفاده از روش وتر ريشه ي معادله ي را با تقريب حساب نماييد ؟
حل) ابتدا شرايط الف ، ب، ج را بررسي مي نماييم .
1)
2)
تا بع در بازه ي پيوسته است
3)
تابع در بازه ي همواره صعودي است
• با توجه به بند3 نتيجه مي گيريم حتما در فاصله ي داراي يك ريشه است
علامت
C b A
- 37501/0- 5/0 1 0
- 1059/0- 6364/0 1 5/0
- 0264/0- 6712/0 1 6364/0
- 0064/0- 6797/0 1 6712/0
- 0015/0- 6817/0 1 6797/0
004/0- 6822/0 1 6817/0
• روش نيوتن رافسون ( مماس ) :
در روش نيوتن رافسون علاوه بر برقراري شروط الف ،ب ،ج لازم است كه در فاصله ي تغيير علامت ندهد در اين روش بجاي آنگه بين دو نقطه و وتري بكشيم مماسي به منحني رسم مي نماييم اگر همه ي شرايط فوق درست باشد آنگاه حاصلضرب در يكي از دو نقطه ي يا مثبت و در ديگري منفي خواهد بود نقطه ي مناسب براي آغاز كار نقطه اي است كه حاصلضرب مثبت باشد اگر نقطه اي باشد كه در آن باشد آنگاه معادلۀ خط مماس چنين خواهد بود .
چنانچه مماس از نقطه به همين شيوه رسم مي نماييم نقطه ي ام محل برخورد مماي از با محور ها از فرمول زير بدست خواهد آمد .
فلوچارت روش الگوريتم روش نيوتن رافسون :
مثال ) ريشه ي معادله ي را با تقريب و به كمك روش نيوتن رافسون (مماس)محاسبه نماييد ؟
تابع در بازه ي همواره پيوسته است .
تابع در بازه ي همواره نزولي است .
تابع در بازه ي همواره منفي است .
پس نتيجه مي گيريم نقطۀ شروع مي باشد .
بنابراين 895/1 باتقريب 001/0 ريشه ي معادله فوق است .
تمرين )
1-ريشه ي معادله ي باتقريب باروش نيوتن رافسون محاسبه نماييد ؟
2-معادله ي سؤال يك را با روش وتر وهمان تقريب حل نماييد ؟
• روش نقطه ي ثابت :
در اين روش برقراري شرايط الف،ب،ج را بررسي مي كنيم و سپس تابع به صورت نوشته وريشه ي آن را به كمك روند تكراري با تقريب تكرار مي كنيم براي آنكه روش نقطه ثابت همگرا باشد بايد 2شرط زير برقرار باشد :
1)
2)
مثال) ريشه ي معادله ي را به روش نقطه ي ثابت وبا تقريب محاسبه نماييد ؟
f(0)*f(1)
تابع در بازه ي داري يك ريشه است .
در بازه ي همواره مثبت است پس تابع صعودي است .
بنابراين ريشه ي تابع با دقت برابر است با
مثال )ريشه ي معادله ي را به روش نقطه ثابت وبا تقريب را محاسبه نماييد ؟
در بازه ي همواره بزرگتر از صفر است و تابع همواره صعودي است .
بنابراين مي توان تابع را به اين صورت حل نماييم
بنابراين برابر با 855584/1 با تقريب ريشه ي معادله مي باشد .
تمرین های فصل دوم
1- معادله ي را به روش نقطه ي ثابت و تقريب حل نماييد.
2- معادله ي را به روش نقطه ي ثابت و تقريب حل نماييد .
3- برنامه اي بنويسيد كه ريشه معادله ي را به روش نقطه ي ثابت وبا دقت دلخواه محاسبه نماييد .
فصل سوم
حل دستگاه معادلات خطی
یک دستگاه معادلات خطی به شکل کلی زیر میباشد:
که در آن ها ( ∑) مجهول و و ها ( ∑) معلوم هستند. این دستگاه میتواند به صورت مستقیم ( روشهای حذفی گاوس و گاوس جردن) و یا به صورت تکراری (روشهای ژاکوبی و گاوس سایدل) حل شود.
روش مستقیم با انجام اعمال سطری_مقدماتی جوابهای دستگاه را پیدا می نماید با انجام عملیات سطری_مقدماتی جواب دستگاه معادلات تغییر نخواهد کرد.
این اعمال عبارتند از:
1- هر معادلۀ را میتوان در یک عدد غیرصفر K ضرب کرد و به جای معادلۀ قرار داد.
k→
2- میتوان K برابر معادلۀ رابا معادلۀ جمع نمود وبه جای معادلۀ قرار داد.
→ + K
3- میتوان جای 2 معادله را در دستگاه معادلۀ فوق جابجا یا تعویض نمود.
⇌
روش حذفی گاوس:
در این روش ابتدا ماتریس افزوده که شامل ماتریس ضرایب و ماتریس معلومات می باشد را تشکیل داده و سپس با انجام عملیات سطری_مقدماتی ماتریس بالا مثلثی تبدیل می کنیم.
و به این صورت از معادلۀ آخر شروع کرده و پاسخ ها را یکی یکی بدست آورده و در معادلۀ بالاتر قرار داده تا کلیه مجهولات محاسبه گردند.
=
حال گامهای زیر را به ترتیب انجام می دهیم:
گام 1( حذف در ستون1):
فرض می کنیم 0 ≠ باشد معادلات را با معادلات - جایگزین میکنیم (اگر 0= باشد آنگاه سطر اول ماتریس افزوده را با سطری که اولین درایه آن صفرنیست تعویض میکنیم)
ضرایب جدید دستگاه معادلات به صورت زیر میباشد:
که در آن؛
= - ( ) ، j=2,3,…,n ، i=2,3,…,n
= - ( )
گام 2(حذف در ستون2):
با فرض 0≠ ، عملیات مشابه را برای حذف متغیر از معادله سوم تا n اُم انجام میدهیم. در نهایت با ادامه این روند ماتریس ضرایب به یک ماتریس بالامثلثی تبدیل میشود.
دستگاه معادلات خطی ماتریس افزوده فوق، بصورت زیر تبدیل میشود:
+ + …. + =
+ …. + =
=
از معادله n اُم مقدار و با جایگذاری مقدار در معادله (n-1) اُم مقدار 1- و به همین ترتیب میتوان مقادیر ،....، را پیدا نمود.
مثال: دستگاه معادلات خطی زیر را به روش گاوس حل نمایید.
حل: ابتدا تشکیل ماتریس افزوده؛
= =
گاوس جردن:
برای حل دستگاه از روش گاوس جردن مانند روش حذفی گاوس، ماتریس افزوده دستگاه را مینویسیم و با اعمال سطری- مقدماتی آن را به صورت ماتریس تبدیل می نماییم. بنابراین:
………..
به عبارت دیگر در هر گام نه تنها درایه های زیر قطر اصلی را صفر می کنیم، بلکه درایه های بالای قطر اصلی را نیز صفر نموده و علاوه بر این درایه های قطر اصلی ماتریس ضرایب دستگاه را به یک تبدیل می نماییم.
مثال: دستگاه معادلات خطی زیر را به روش گاوس جردن حل نمایید
= =
= =
= = =
روشهای تکراری
روشهای حذفی گاوس و گاوس جردن برای حل دستگاههای خطی روشهای مستقیم نامیده می شوند.
با استفاده از هریک از این دو روش چنانچه دستگاه دارای جواب باشد با انجام تعدادی اعمال سطری- مقدماتی جواب به دست می آید. برای حل دستگاههای بزرگ روشهای مستقیم مناسب نیستند و برای این نوع دستگاهها از روشهای تکراری استفاده می شود به ویژه وقتی ماتریس ضرایب یک ماتریس خلوت ( sparce) باشد.
- اگر درصد بزرگی از عناصر یک ماتریس صفر باشند، ماتریس را خلوت می نامند.
اکنون 2 روش تکراری ژاکوبی و گاوس سایدل را شرح می دهیم.
ژاکوبی: Jocobis' Method
در این روش دستگاه خطی زیر را درنظر بگیرید:
چنانچه یک مقدار تقریبی برای بردار جواب X انتخاب نماییم و در طرف راست معادلات فوق جایگزین نماییم،مقدار تقریبی دیگری برای جواب بدست می آید. انتخاب مرحله اول را X مرحله صفر ( ) و جواب بدست آمده را X مرحله یک ( ) نامگذاری می نماییم. اگر مجدداً را در طرف راست معادلات فوق قرار دهیم، جواب تقریبی دیگری که با نمایش می دهیم بدست می آید و ممکن است با ادامه عملیات ، به سمت جواب نهایی معادلات خطی همگرا باشد.
و این کار را ادامه می دهیم تا به ازاء m صحیح و مثبتی داشته باشیم؛
<ε
مثال: دستگاه معادلات خطی زیر را به روش تکراری ژاکوبی حل نمایید؛ (0.001=ε)
برای دستگاه مقدار اولیه را مطابق زیر درنظر میگیریم:
حل:
=
نتایج تکرارهای بعد در جدول زیر داده شده است:
K
0 0 0 0
8/1 3/1- 85/0 1
015/2 035/1- 005/1 2
004/2 998/0- 00250/1 3
0005/2 99935/0- 00010/1 4
99994/1 99998/0- 9997/0 5
اختلاف هر سه مجهول از تکرار قبلی باید کمتر از باشد.
, ,
روش تکراری گاوس سایدل:
این روش مشابه روش ژاکوبی است با این تفاوت که دراینجا به محض اینکه در تکراری مجهولی بدست آمد، در همان تکرار از آن برای محاسبۀ مجهولات بعدی استفاده می کنیم سپس در تکرار k+1 اُم، به صورت زیر محاسبه می شود:
,
مثال: دستگاه زیر را با روش تکراری گاوس سایدل و تقریب 0.001=ε حل نمایید؛
با مقدار اولیه
حل:
نتایج تکرارهای بعدی به صورت زیر در جدول آمده است:
k
0 0 0 0
1 0/85 -1/215 2/0065
2 1/01108 -0/99824 2/00093
3 0/9999 -0/99991 1/9999
4 0/99999 -1 2
جواب معادله:
, ,
در این مثال می بینیم که سرعت همگرایی در روش گاوس سایدل نسبت به روش ژاکوبی بیشتر می باشد.
نکته: اگر ماتریس A که به صورت قطری مسلط (Diagonality Dominant) آنگاه روش ژاکوبی و گاوس سایدل برای هر مقدار انتخابی همگرا میباشد.
قطری مسلط: ماتریس مربعی مرتبه n را قطری مسلط گویند هرگاه:
> ,
تمرین های فصل سوم
1- با استفاده از روش گاوس سایدل جواب دستگاه زیر را با دقت 0.001=ε بدست آورید.
2- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاوس جردن حل كنيد
فصل چهارم
حل دستگاه معادلات غیرخطی
حل دستگاه معادلات غيرخطي به روش تيلور
دستگاه معادلات زير
را در نظر مي گيريم ، مي خواهيم جواب تقريبي دستگاه فوق را پيدا كنيم ، چنانچه جواب واقعي اين دستگاه باشد ابتدا يك تقريت اوليه براي جواب دستگاه به صورت پيدا مي كنيم (معمولاً اين تقريب از طريق رسم دو منحني به دست مي آيد)
را طوري پيدا مي كنيم كه با اضافه كردن آن به ترتيب بتوان تقريب بهتري براي جواب دستگاه پيدا كرد.
يعني :
با نوشتن بسط تيلور در مورد دو تابع داريم :
اگر از جملاتي كه در آن توانهاي از يك بيشتر مي باشند به سبب ناچيز بودن صرفنظر كنيم داريم .
براي پيدا كردن دستگاه معادلات زير را حل ميكنيم .
از حل دستگاه فوق براي دارد :
پس از حل دستگاه داريم: با تكرار عمل فوق اين بار با نقطه ميتوان دنباله جواب دستگاه فوق را بصورت
تا دقت مطلوبي محاسبه كرد.
لازم بذكر است كه دستگاه فوق وقتي داراي جواب است كه در دو نقطه و يا حول نقطه(β،α) شرط زير به متر باشد.
مثال : دستگاه معادلات غيرخطي زير را با استفاده از روش تيلور تا سه تكرار تقريب بزنيد.
با رسم منحنيهاي مذكور حدس اوليه ريشه ها را در نظر ميگيريم.
و از آنجا بطور كلي
روش دوم:
در روش تيلور جواب دستگاه معادلات غيرخطي به صورت زير مي باشد:
كه در آن از حل دستگاه زير بدست مي آيد:
در مثال فوق داريم:
پس داريم:
m = 0,1,2,…
در تكرار اول به ازاي m=0 تقريب اوليه داريم:
در تكرار دوم 1=m به ازاي داريم:
تمرین های فصل چهارم
1- با استفاده از روش تيلور يكي از جوابهاي معادلات غيرخطي را با دو تكرار تقريب بدست
ميآيد.
تقريت اوليه يكي از ريشه ها را در نظر بگيريد.
2- به كمك روش تيلور يكي از جوابهاي معادلات غیر خطي زير را با يك تكرار تقريب بزنيد
فصل پنجم
درونیابی وبرونیابی
درونیابی (Interpolation)
فرض کنید x0,x1,…,xn ، n+1 نقطه متمایز و f(0),f(1),…,f(n) مقادیر تابعی نامشخص در این نقاط باشد. هدف از درون یابی تابع f(x) پیدا کردن یک چند جمله ای حداکثر از درجه n می باشد که به آن چند جمله ای درون یاب می گویند، بطوریکه:
برای محاسبه چند جمله ای درونیاب دو حالت زیر را در نظر می گیریم:
الف) نقاط درونیاب متساوی الفاصله نباشند. (درونیابی لاگرانژ)
ب) نقاط درونیاب متساوی الفاصله باشند. (درونیابی با استفاده از تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن)
- درونیابی لاگرانژ
مثال:
8 4 3 1 x
2 6 7 4 f(x)
فرض کنید x0,x1,…,xn ، n+1 نقطه متمایز و f(0),f(1),…,f(n) مقادیر تابع f در این نقاط باشد، حال می خواهیم چند جمله ای Pn(x) را چنان بسازیم که در n+1 مذکور با تابع f هم مقدار باشد یعنی: Pn(xi)=fi و i=0,1,…,n
چندجمله ای Pn(x) را به صورت زیر در نظر می گیریم:
که در آن Ln,..., L1, L 0چند جمله ای حداکثر درجه n می باشند.
برای اینکه چند جمله ای درونیاب Pn (x) و تابع f(x) در نقاط n x......،x1،x0 هم مقدار باشند باید:
بعنوان مثال چند جمله ای L0 در نقاط دارای مقدار صفر و در نقطه x0 دارای مقدار یک می باشد.
L 0 (x)=k(x-x1 )(x-x2 )……(x-xn )
ملاحظه می شود که چند جمله ای L 0 (x) در نقاط n x1,x2,….x دارای مقدار صفر می باشد.
با توجه به اینکه تابع L 0(x) در نقطه x0 باید دارای مقدار یک باشد ، داریم:
L 0 (x0)=k(x0-x1 )(x0-x2 )……(x0-xn )
که میتوان Kرا محاسبه کرد:
عبارت بالا نشان می دهد که به ازای تمام مقادیر x1,x2,….x
مقدار L i صفر می باشد. بجز x i که برابر یک است.
توابعLi (x) i =0 ,1 ,……n توابع لاگرانژ می نامند.
بنابراین چند جمله ای لاگرانژ به کمک توابع لاگرانژ بصورت زیر است:
مثال: چند جمله ای درونیاب تابع جدول زیر را به کمک درونیابی لاگران پیدا کنید؟
3 1 0 -1 xi
29 3 2 1 fi
با توجه به اینکه n=4 می باشد بنابراین چند جمله ای از درجه 3 می باشد.
مثال:چند جمله ای درونیاب را برای تابع sin(x) به دست آورید. سپس مقدار sin 370
45 30 0 x
0 Sin(x)
را بدست آورید؟
حال معادله تابع را بدست آوردیم. مقدار x مورد نظر را در معادله قرار می دهیم.
X=370
X=420
تمرین: چند جمله ای درونیاب تابع f(x) را با استفاده از روش لاگرانژ برای داده های جدول زیر محاسبه و مقدار f(-0.5) را بدست آورید؟
3 2 1 0 -1 xi
-4 1 8 5 -20 fi
تمرین: تابع چند جمله ای درونیاب را برای تابع tag x جهت سه نقطه محاسبه نموده و سپس مقدار tag 320 را با استفاده از چند جمله ای بدست آمده محاسبه کنید.
45 30 0 x
1
0 Tag x
Tag 320 = 0.7829
خط تقریب کمترین مجموع مربعات :
یکی از متداول ترین روشهای برازش منحنی انتخاب خط تقریب کمترین مجموع مربعات
برای برازشn نقطه محفوظ (x,y1) , (x2,y2) , … (xn,xn) می باشد .
چنانچه معادله این خط را (x)=ax+b ψ بنابراین می بایست a و b را چنان تعیین کرد که
E(a,b) = [yi-(axi+b)]2
تابع E min شود و برای این منظور باید :
= 2 [yi – (axi+b)] (-xi) = o a xi2 + b xi= xi . yi
= 2 [yi – (axi+b)] (-1) = o a xi + b×n = yi
از حل دستگاه فوق مقدار a و b و نهایتا خط راست کمترین مربعات به دست می آید
مثال : خط تقریب کمترین مجموع مربعات را برای داده های زیر تعیین کنید.
xi2 = 0/91 xi=2/1 xiyi=4/42 yi=16/6
0/91a+2/1b=4/42
a= -2 b-2/9714
2/1a+7b = 16/6
y= -2x+2/9714
درون یابی نقاط هم فاصله :
چند جمله ای درون یاب به کمک تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن
در این روش ابتدا یک لیست تفاضلی مطابق جدول زیر تشکیل می دهیم به طوری که :
X f ∆f
∆2f
… ∆nf
O
1
2
.
.
.
n xo
x1
x2
.
.
.
xn fo
f1
f2
.
.
.
fn
∆fo
∆f1
∆fn-1
∆2fo
∆2fi
∆nfo
تفاضل مرتبه اول : ∆fi = fi+1 –fi
تفاضل مرتبه دوم : ∆2fi = ∆fi+1 -∆fi
∆nfi = ∆n-1fi+1 -∆n-1fi
سپس با استفاده از فرمول جایگشت ________ = ) ( چند جمله ای تقریبی تابع f
چنین خواهد بود :
f(x) ~ Pn (x) = fo + ( ) fo + ( ) ∆2fo + ( ) ∆3fo + … + ( ) ∆nfo
که آن را چند جمله ای پیشرو نیوتن می گویند .
ویژگی آن این است که : Pn(xi) = fi
مثال) با استفاده از تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن چند جمله ای درون یاب تابع جدول زیر را پیدا نموده و سپس مقدار f(0/5) را تقریب بزنید .
xi fi ∆fi ∆2fi ∆3fi
0
1
2
3 0
0/2
0/4
0/6 1
1/2214
1/4918
1/8221
0/2214
0/2704
0/3303
0/049
0/0599
0/0109
P3 (x) = fo + s ∆ fo + ∆2fo + ∆3fo
P3 (x) = 1 + 5 x (0/2214)+ × 0/049+ × 0/0109 =>
P3 (x) = 0/2271x3 + 0/4763x2 + 1/0027x+1
تمرین 1 ) خط تقریب کمترین مجموع مربعات را برای جدول زیر بنویسید .
xi2 = 1 + 4 + 16 + 49 + 81 = 151
x !y ! = (1/5) + (7/8) + (26/4) + (81/9) + (140/4) = 258
xi = 23 yi = 39/3
151a + 23b = 258 -755a – 115b = -1290
23a + 5b = 39/3 529a +115b = 903/9
-226a = -386/1 a = 1/451
(23 × 1/451) + 5b = 39/3
5b = 39/3 -33/384
5b = 5/9154 b= 1/183
y=1/451x+1/183
تمرین2) برای تابع f(x) = sin x لیستی از 3 داده هم فاصله به دست آورید و سپس
چند جمله ای پیشرو نیوتن را برای آن نوشته و از روی آن مقدار تقریبی
sin 36° را محاسبه نمایید .
xi fi ∆fi ∆2fi
o
1
2 o
30
60 o
½
√⅔
o/4539
o/3550
-0/0989
H = 30° s = =
P2(x) = fo + ( ) ∆fo+ ( ) ∆2fo
P2(x) = o + (o/4539) + ( -1) (-0/0989) =>
P2 (x) = + (-0/0989)
P2 (36°) = + (-0/0989) = 0/54468 – 0/011868 =>
p2 (36°) = o/5328
ثابت کنید که در چند جمله ای درجه دو پیشرو نیوتن در نقاط درون یاب خود مقادیر را
خواهد داد.
xi fi ∆fi ∆2fi
o
1
2 xo
x1
x2 fo
f1
f2
∆fo
∆f1
∆2fo
P2 (x) = fo + s ∆fo + ∆2fo
x = xo s = o
P2 (xo) = fo + o + o = fo
x = x1 s = = = 1
P2 (x1) = fo + ∆fo = fo + f1 – fo = f1
x = x2 s = = = 2
P2 (x2) = fo + 2∆fo + ∆2fo = fo + 2∆fo + ∆2fo =
fo + 2∆fo + ∆f1 - ∆fo = fo + ∆fo + ∆f1 = fo +f1 – fo + f2 – f1 = f2
فصل ششم
مشتق گیری و انتگرال گیری
مشتق گیری در دو حالت زیر کاربرد دارد:
1-تابع به صورت فرمولی موجود است اما فرمول پیچیده است.
2-مقادیر تابع به صورت جدولی در چند نقطه موجود است.
در هر دو حالت می توان فرض کرد که مقادیر یک تابع f به صورت جدول زیر داده شده است:
…. x
F( )
F( )
F( )
F(x)
برای محاسبه مشتق عددی تابع f(x) از چند جمله ای درون یاب پیشرو نیوتن استفاده می کنیم:
فرض کنید نقاط از یکدیگر فاصله یکسان و برابر h دارند در این حالت چند جمله ای درون یاب پیشرو نیوتن عبارتست از:
(x)= +S∆ + +….+
که در آن داریم ← S=
برای محاسبه مشتق تابع f(x) از مشتق (x) استفاده می کنیم بنابراین داریم:
(x) (x)=
X= +sh → dx=h ds →
(x)= = [∆ + +… ]
و اگر قرار دهیم s=0 آنگاه خواهیم داشت:
( ) ( )= [∆ … ]
این فرمول مشتق تابعf(x) را در نقطه ابتدای جدول به دست می دهد.
فرمول های ساده شده مشتق: اگر در فرمول فوق از جمله اول ∆ استفاده شود داریم:
( ) =
که فرمول دو نقطه ای مشتق نامیده می شود.
13 11 9 7 x
18 17 14 10 F(x)
مثال
چنانچه از دو جمله فرمول مشتق استفاده شود داریم:
( ) = [∆ ]=
که فرمول سه نقطه ای مشتق نامیده می شود.
11
X
18 17 14 10 F(X)
مثال
چنانچه ازسه جمله فرمول مشتق استفاده شود داریم:
( ) =
مثال:مقادیر تابع f به صورت جدول زیر موجود است، را با استفاده از تمام نقاط جدول و را با استفاده از فرمول سه نقطه ای مشتق تخمین بزنید؟
1.7
X
8.166 6.686 5.474 4.482 3.669 F(X)
تمرین: مقادیر تابع f به صورت جدول زیر داده شده است،مقدار و را با استفاده از فرمول سه نقطه ای مشتق بدست آورید؟
1.7
X
10.244 8.366 6.474 4.322 3.669 F(X)
اگر بخواهیم مشتق تابع را در نقطه x مابین محاسبه کنیم،می توانیم مشتق را در نقطه و تخمین زده ،سپس از روش درون یابی خطی استفاده کنیم.یعنی داریم:
(x)=
انتگرال گیری عددی:
محاسبه انتگرال معین به شکل می باشد و در حالات زیر کاربرد دارد:
الف)تابع اولیه f موجود نباشد مانند:
ب)بدست آوردن تابع f به سادگی امکان پذیر نباشد.
ج)مقادیر تابع f تنها در تعداد نقاط مشابهی در بازه [a,b] موجود باشد.
چنانچه تابع f در نقاط a=xo
فرمول های انتگرال گیری:
بازه [a,b] را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم:
h =
فرض کنیم چند جمله ای درونیاب پیشرو نیوتن باشد در این صورت داریم:
(x)= +S∆ + +…
الف)دستور ذوزنقه ای ساده:
فرض می کنیم n=1 در آن صورت داریم ←h=b-a و داریم ←x1=b,x0=a در این صورت p(x) تابع خطی و به صورت زیر است:
p(x)=f0+s∆f0
=
از طرفی داشتیم s= و بعد داریم :
≈h =h[sf0+ ∆f0 [f0+f1]
(h[f0+ ∆f0]=h[f0+ (f1-f0)]=h[ f0+ f1]= [f0+f1])
فرمول فوق را دستور ذوزنقه ای ساده می نامند.
ب)دستور ذوزنقه ای مرکب:برای محاسبه انتگرال از بازه [a,b] را به n قسمت تقسیم می کنیم و داریم
h =
در این حالت داریم
≈ f0+2f1+2f3+…+fn-1+fn]
فرمول فوق را دستور ذوزنقه ای مرکب می نامند.
مثال:مقدار تقریبی انتگرال با دستور ذوزنقه ای مرکب و h=0.2 محاسبه نمایید؟
ج)دستور سیمپسون ساده
فرض کنید n=2 بنابراین
h= x0=a ,x2=b ,x1= ,
در این حالت داریم :
P(x)=f0+s∆f0+ ∆2f0
S= dx=h ds , x=x0 → s=0 , x=x2 → s=2
≈h = (f0+4f1+f2)
فرمول فوق را دستور سیمپسون ساده می نامند.
دستور سیمپسون مرکب:
در این روش ابتدا بازه [a,b] را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و در این حالت داریم ←h=
سپس با توجه به فرمول دستور سیمپسون ساده داریم :
≈ [f0+4f1+2f2+….+4fn-1+fn]
پاسخ عددی مقدار انتگرال را تقریب می زنیم.
مثال:حاصل انتگرال را به روش سیمپسون مرکب و h= مخاسبه نمایید
n = = = 8تعداد بازه ها
x0=3 , x1=3.25 , x2=3.5 , x3=3.75 , x4=4 , x5 =4.25 , x6 =4.5 , x7 =4.75 , x8=5
= [(32 ln(3))+(4 (3.25)2 ln(3.25))+(2×(3.5)2×ln(3.5))+(4×(3.75)2×ln(3.75))+(2×(4)2×ln(4))+(4×(4.25)2×ln(4.25))+(4×(4.5)2ln(4.5))+2×(4.75)2×ln(4.75))+(52×ln(5)]=46.2835
تمرین های فصل ششم
1- مقدار تقریبی انتگرال با فرض: f(x)= با روش سیمپسون با انتخاب h=0.5 حل نمایید.
2- سوال 1 را با روش ذوزنقه ای مرکب حل نمایید.
3- مقدار انتگرال را با روش ذوزنقه ای مرکب
h=
محاسبه نمایید.
4- برنامه ای بنویسید که مقدار انتگرال را با روش ذوزنقه ای مرکب و با دریافت مقدار h از ورودی محاسبه نماید.
5- تابع f(x)= موجود است،مقدار را به صورت عددی و با استفاده از فرمول سه نقطه ای مشتق محاسبه نمایید.
نمونه سوالات امتحانی
امتحان ميان ترم درس محاسبات عددي
1- هرگاه اعداد ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت زير را تا ارقام درست محاسبه
كنيد.
2- ريشه مثبت معادله را به روش نيوتن رافسون وبادقت محاسبه كنيد.
3- دستگاه مبادلات خطي زير را به روش گاوس جوردن حل كنيد .
4- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاوس سايه ل تا چهار مرحله حل كنيد.
پاسخ:
1-
تاصفر رقم اعشار درست است
2-
ریشه را انتخاب می کنیم .
ریشه معادله خواهد بود.
3-
4-
امتحان ميان ترم درس محاسبات عددي
1- هرگاه اعداد تا ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت زير را ، ارقام درست محاسبه كنيد .
2- ريشه معادله را به روش نقطه ثابت تا دقت محاسبه كنيد.
3- دستگاه معغادلات خطي زير را به روش گاووس سايه ل تادقت
4- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاووس جوردن حل كنيد .
(1
تاسه رقم درست است 2.291
(2
بنابراين دنباله تكرار نقطه ثابت
به ازاي هر از بازه همگرا به ريشه خواهد بود .
ريشه معادله مذكور با تقويت مي باشد .
4)
پاسخ :
تايك رقم اعشار درست است
(2
ريشه را انتخاب مي كنيم .
(3
(1
(2
امتحان ميان ترم درس محاسبات عددي
1- چنانچه مقدار تاارقام داده شده درست باشد مقدار عبارت زير را تا ارقام درست محاسبه كنيد.
2- يك ريشه را باتقويت وبه روش نيوتن رانسون بدست آوريد.
3- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاوس جردن حل نماييد.
جواب دستگاه معادلات خطي زير را به روش تكراري كاووس سايد ل تا دوتكرار بدست آوريد.
تادورقم اعشار درست است
2-
نقطه شروع نقطه 1مي باشد .
تاتقريب ريشه معادله فوق مي باشد .
قطري مسلط
سئوالات امتحاني محاسبات عددي (ميان ترم )
1- تقريبي براي بدست آوريد؟
2- عدد 1265/3 را به ترتيب تا يك رقم ، دورقم سه رقم اعشار گرد كيند ؟
3- هريك از اعداد و تقريبي براي عدد هستند ، اين تقريبات چند رقم اعشار درست دارد ؟
اگر اعداد و تا ارقام اعشار داده شده درست باشند مقدار عبارت راتا ارقام درست محاسبه كنيد ؟
خطاي مطلق ونسبي ودرصد خطا را براي بدست آوريد ؟
را با استفاده از فرمول تيلور تقريب بزنيد ؟
هرگاه اعداد وارقام داده شده درست باشند ، مقدار عبارت زير را تا ارقام درست محاسبه كنيد ؟
ج) ب) (الف
ريشه معادله را با تقريب وبه روش نيوتن را فسون محاسبه كنيد ؟
ريشه معادله را به روش نقطه ثابت وبادقت محاسبه كنيد ؟
معادله را با روش نيوتن رافسون وبادقت محاسبه كنيد ؟
معادله را باروش نقطه ثابت وبادقت محاسبه كنيد ؟
دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاوس جردن حل كنيد ؟
يك دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاوس سايدل تا چهار مرحله محاسبه كنيد ؟
14 ريشه معادله را به روش نيوتن رافسون وبا دقت محاسبه كنيد ؟
15- به كمك روش تيلور يكي از جوابهاي معادلات خطي زير را با يك تكرار تقريب بزنيد ؟
سئوالات امتحاني پايان ترم درس محاسبات عددي
1- چند جمله اي درونياب تابع جدول زير را به كمك درونيابي لاگرانش پيدا كنيد ؟
3 1 0 1-
29 3 2 1
2- خط را ست كمترين مربعات را براي داده هاي زير تعيين كنيد ؟
6/0 5/0 4/0 3/0 2/0 1/0 0
7/1 1/2 1/2 3/2 7/2 8/2 9/2
3- با استفاده از تفاضلات متناهي پيشروي نيوتن تابع جدول زير را پيدا كنيد سپس مقدار را بدست آوريد ؟
0 2 4/0 6/0
1 2204/1 488/1 8221/1
4- با استفاده از تفاضلات متناهي پيشروي نيوتن ، چند جمله اي درونياب تابع sin(x) را با استفاده از سه داده هم فاصله بدست آورده واز روي آن مقدار را محاسبه نمایید
0
0 5/0 866/0
5- نشان دهيد كه درچندجمله اي پيشروي نيوتن بادرجه دو، بامقادير درونيابي در ان نقاط برابر است ؟
6- مقادير تابع بصورت جدول زير در دست است ،( رابا استفاده از تمام نقاط جدول و را با استفاده از فرمول سه نقطه اي مشتق تخمين بزنيد ؟
1/2 9/1 7/1 5/1 3/1 x
166/8 686/6 474/5 482/4 669/3 F(x)
7- اگر تابع مقدار را با استفاده از فرمول سه نقطه اي بدست آوريد؟
8- مشتق تابع سه نقطه اي را بدست آوريد ؟
مقدار انتگرال را با روش ذوزنقه مركب و محاسبه كنيد
10- مقدار تقريبي انتگرال f(x )dx را در فاصله بافرض: را با استفاده از روش ذوزنقه مركب وبا انتخاب طول گام h برابر با 5/0 حساب كنيد ؟
سئوالات امتحان پايان ترم درس محاسبات عددي
1- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاووس سايدل وتادوتكرار حل كنيد .
2-يكي از ريشه هاي دستگاه معادلات غير خطي را با استفاده از روش تيلور وتا دوتكرار حل كنيد .
3- با استفاده از تفاضلات متنهاي پيشرو نيوتن چندجمله اي درونياب تابع جدول زير را پيدا نموده وسپس مقدار را تقويت بزنيد .
1
4- چنانچه چند جمله اي در ونياب پيشروي نيوتن تابع f(x) باشد ثابت كنيد .كه فرمول سه نقطه اي مشتق از رابطه زير بدست مي آيد .
5-مقدار تقريبي انتگرال را با استفاده ا زروش ذوزنقه وبه ازاء محاسبه كنيد
6- ريشه معادله را به روش نيوتن وبادقت محاسبه كنيد .
7- خط حداقل مجموع مولبات را براي جدول زير محاسبه نماييد.
8 6 4 3 1 -3 -5 x
67 50 16 7 0 7 18 f
به شش سوال از هفت سئوال پاسخ دهيد .
بارم هر سئوال 2نمره
سئوالات امتحان پايان ترم درس محاسبات عددي
1- اگر اعداد تا ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت است راتا ارقام درست محاسبه كنيد .
2- با استفاده از روش نيوتن رامنسون ريشه مثبت معادله را خطاي بدست آوريد.
3- دستگاه معادلات خطي زير را به روش گاووس سايدل تاچهار مرحله حل كنيد.
4- دستگاه معادلات غير خطي زير را به كمك روش تيلور وتا دوتكرار تقريب حل كنيد.
5- چند جمله اي درونياب تابع جدول را براي مقادير به كمك درونيابي لاگرانژ پيدا نموده وسپس مقدار را به كمك آن محاسبه كنيد .
6- چند جمله اي درونياب تابع جدول را براي مقادير به كمك درونيابي لاگرانژ پيدا نموده وسپس مقدار را به كمك آن محاسبه كنيد .
6- خط کمترین مربعات را برای داده های زیر تعیین کنید؟
7- مقدار تقریبی انتگرال را با فرض را با روش ذوزنقه مرکب و با انتخاب طول گام محاسبه کنید.
8- مقادیر تابع f به صورت جدول زیر در دست می باشد مقدار را با استفاده از داده های تمام نقاط جدول محاسبه کنید.
امتحان پایان ترم درس محاسبات عددی
1- به کمک روش تیلور یکی از جوابهای مبادلات غیر خطی زیر را با دو تکرار تقویت بدست آورید.
2- چند جمله ای درونیاب تابع جدول Sinx را برای مقادیر به کمک درونیابی لاگرانژ پیدا کنید و پس مقدار را به کمک آن محاسبه نمی شد.
3- آمار جمعیت کشور در 4 دوره در جدول زیر آمده است.
سال
جمعیت
تابع درونیات جدول مذکور را با استفاده از تفاضلات متناهی پیشرو نیوتن محاسبه کرده و جمعیت کشور را درسال 1360 محاسبه کنید.
4- خط راست کمترین مربعات را برای داده های زیر تعیین کنید.
5- مقدار انتگرال بین را باروش ذوزنقه مرکب و با تمام محاسبه کنید.
6- مقادیر تابع f بصورت جدول زیر داده شده است مقدار و را با استفاده از دستور سه نقطه ای مشتق محاسبه کنید.
7- دستگاه مبادلات خطی زیر را به روش گاوس سایدل تا دقت حل کنید.
سئوالات امتحان پایان ترم درس محاسبات عددی
1- اگر اعداد تا ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت را تا ارقام درست محاسبه کنید.
2- با استفاده از روش نیوتن رافسون ریشه مثبت معادله را با دقت بدست آورید.
3- دستگاه مبادلات خطی زیر را به روش گاووس سایدل تا چهار مرحله حل کنید.
4- دستگاه مبادلات غیر خطی زیر را به کمک روش تیلور و تا دو تکرار حل نمایید.
5- چند جمله ای درونیات تابع جدول را برای مقادیر به کمک درونیابی لاگرانژ پیدا نبوده و پس مقدار را به کمک آن محاسبه کنید.
6- خط تقریب کمترین مجموع مربعات را برای داده های زیر بدست آورید .
7- مقدار تقریبی انتگرال را با فرض
را با روش ذوزنقه مرکب و با انتخاب طول گام محاسبه کنید.
8- مقادیر تابع f به صورت جدول زیر در دست می باشد مقدار را با استفاده از داده های تمام نقاط جدول محاسبه کنید.
امتحان پایان ترم درس محاسبات عددی
1- دستگاه معادلات خطی زیر را به روش گاووس سیدل و تا چهار تکرار کنید.
2- یکی از ریشه های دستگاه معادلات غیر خطی زیر را با استفاده ازروش تیلور وتادو تکرار حل کنید.
3- چنانچه چند جمله ای پیشروی نیوتن تابع باشد ثابت کنید مشتق مرتبه دوم آن با استفاده از جمله اول از رابطه زیر بدست می آید.
4- مقدار تقریبی انتگرال را با روش ذوزنقه و به ازاء محاسبه کنید.
5- خط حداقل مجموع مربعات را برای جدول زیر محاسبه کنید.
6- چند جمله ای درونیات تابع جدول زیر را به کمک درونیات لاگرانژ بدست آورده و مقدار را محاسبه نمائید.
1- هرگاه اعداد تا ارقام داده شده درست باشند مقدار عبارت زیر را تا ارقام درست محاسبه کنید.
2- ریشه معادله را به روش نقطه ثابت و بادقت محاسبه کنید.
3- دستگاه مبادلات خطی زیر را به روش گاووس جوردن حل کنید.
4- ریشه مثبت معادله را به روش نیوتن رافسون و بادقت محاسبه کنید
